Question

13．已知點P（x，y）（xy≠0）是橢圓$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{8}$=1上動點，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左，右焦點，?λ∈R⁺，使得$\overrightarrow{PM}$=λ（${\frac{{\overrightarrow{P{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{P{F_1}}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{P{F_2}}}}{{|{\overrightarrow{P{F_2}}}|}}}$），且$\overrightarrow{{F_1}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，則|$\overrightarrow{OM}}$|的取值范圍為（0，2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 延長F₂M交PF₁于點N，由題意可知△PNF₂為等腰三角形，得OM是△PF₁F₂的中位線．利用三角形中位線定理和橢圓的定義，算出|OM|=a-|PF₂|，再由橢圓的焦半徑|PF₂|的取值范圍加以計算，即可得到|OM|的取值范圍．

解答 解：如圖，延長PF₂、F₁M，交與N點，連接OM
∵$\overrightarrow{PM}$=λ（${\frac{{\overrightarrow{P{F_1}}}}{{|{\overrightarrow{P{F_1}}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{P{F_2}}}}{{|{\overrightarrow{P{F_2}}}|}}}$），且$\overrightarrow{{F_1}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
∴PM是∠F₁PF₂，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M為F₁F₂中點，
∵O為F₁F₂中點，M為F₁N中點
∴|OM|=$\frac{1}{2}$|F₂N|=$\frac{1}{2}$||PN|-|PF₂||=$\frac{1}{2}$||PF₁|-|PF₂||
設P點坐標為（x₀，y₀）
∵在橢圓$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{8}$=1，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀+a-ex₀|=|2ex₀|=$\sqrt{2}$|x₀|
∵P點在橢圓$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{8}$=1上，∴|x₀|∈[0，4]，
又∵x≠0，y≠0，可得|x₀|∈（0，4），∴|OM|∈（0，2$\sqrt{2}$）．
故答案為：（0，2$\sqrt{2}$）．

點評 本題給出橢圓焦點三角形角平分線的垂線，求垂足到橢圓中心距離的范圍．著重考查了橢圓的定義與簡單幾何性質、等腰三角形的判定與性質和三角形中位線定理等知識，屬于中檔題．