Question

15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足sinA-cosA=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面積為2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由于sinA-cosA=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，sin²A+cos²A=1，解得sinA，cosA．cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，B∈（0，π），可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．可得cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB．
（2）利用$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}{a}^{2}•\frac{sinBsinC}{sinA}$=2，解得a即可得出．

解答 解：（1）∵sinA-cosA=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，sin²A+cos²A=1，
解得sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，B∈（0，π），∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=$\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}$-$\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵C∈（0，π），∴C=$\frac{3π}{4}$．
（2）∵$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}{a}^{2}•\frac{sinBsinC}{sinA}$=$\frac{1}{2}{a}^{2}$×$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$=2，
解得a=2．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．