Question

2．已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長為1的正方形，高為2，則點A₁到截面AB₁D₁的距離是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)據(jù)，結(jié)合等體積法${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$可得距離h的方程，解方程可得．

解答 解：設(shè)點A₁到截面AB₁D₁的距離為h，
由已知數(shù)據(jù)可得AB₁=AD₁=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，B₁D₁=$\sqrt{2}$，
∴cos∠B₁AD₁=$\frac{5+5-2}{2•\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，故sin∠B₁AD₁=$\frac{3}{5}$，
∴${S}_{△A{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{2}$，
由等體積法可得${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{2}$×h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×2，解得h=$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查空間點線面之間的距離運算，涉及等體積法和三棱錐的體積公式和三角形面積的計算，屬中檔題．