Question

2．已知定點(diǎn)A（-1，0），圓C：x²+y²-2x-2$\sqrt{3}$y+3=0．
（1）過(guò)點(diǎn)A向圓C引切線，求切線長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)A作直線l₁交圓C于P、Q，且$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PQ}$，求直線1₁的斜率k；
（3）定點(diǎn)M，N在直線l₂：x=1上，對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)R都滿足RN=$\sqrt{3}$RM，試求M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理，求切線長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)A作直線l₁交圓C于P、Q，且$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PQ}$，利用切割線定理求出PQ，即可求直線1₁的斜率k；
（3）定點(diǎn)M，N在直線l₂：x=1上，對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)R都滿足RN=$\sqrt{3}$RM，建立方程求M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-2x-2$\sqrt{3}$y+3=0，可化為（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1．
∴C（1，$\sqrt{3}$），
∴|AC|=$\sqrt{4+3}$=$\sqrt{7}$，
∴切線長(zhǎng)為$\sqrt{7-1}$=$\sqrt{6}$；
（2）由切割線定理，可得6=AP•AQ=2AP²，∴AP=PQ=$\sqrt{3}$
∴圓心到直線的距離d=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)直線1₁的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∴$\frac{|2k-\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{11\sqrt{3}}{15}$；
（3）設(shè)M（1，a），N（1，b），R（x，y），則
RN²=（x-1）²+（y-b）²，RM²=（x-1）²+（y-a）²，
∵RN=$\sqrt{3}$RM，（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1
∴1-（y-$\sqrt{3}$）²+（y-b）²=3[1-（y-$\sqrt{3}$）²]+3（y-a）²，
∴（4$\sqrt{3}$-6a+2b）y+3a²-b²-4=0，
∴4$\sqrt{3}$-6a+2b=0且3a²-b²-4=0，
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，b=2$\sqrt{3}$或a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=0，
∴M（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，N（1，2$\sqrt{3}$）或M（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），N（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．