Question

8．已知：定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b滿足f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）≠0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）證明f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求不等式f（x²+x）＜$\frac{1}{f（2x-4）}$的解集．

Answer 1

分析 （1）令a=1，b=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再結(jié)合當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．得出f（0）=1
（2）設(shè)x₁＜x₂，由已知得出f（x₂）=f（x₁+（x₂-x₁））=f（x₁）f（x₂-x₁）＞f（x₁），即可判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
 （3）由（2），不等式化為x²+x＜-2x-4，解不等式即可．

解答 解：（1）令a=1，b=0則f（1）=f（1+0）=f（1）f（0），
∵f（1）≠0，
∴f（0）=1，
（2）證明：當(dāng)x＜0時(shí)-x＞0
由f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，f（-x）＞0得f（x）＞0，
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，f（x）＞0，
設(shè)x₁＜x₂則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞1，
∵f（x₂）=f（x₁+（x₂-x₁））=f（x₁）f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵$\frac{1}{f（2x-4）}$=$\frac{f（0）}{f（2x-4）}$=f（-2x+4）
∴f（x²+x）＜$\frac{1}{f（2x-4）}$=f（-2x+4），
由（2）可得：x²+x＜-2x+4
即x²+3x-4＜0
解得-4＜x＜1，
∴原不等式的解集是（-4，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)求函數(shù)值、單調(diào)性的判定、及單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化、牢牢把握所給的關(guān)系式，對(duì)式子中的字母準(zhǔn)確靈活的賦值，變形構(gòu)造是解決抽象函數(shù)問(wèn)題常用的思路．