Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（$\sqrt{3}$，-1），其中x∈R．
（Ⅰ）當(dāng)$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$時，求x值的集合；　　
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最大值及并給出對應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量垂直的條件以及向量的數(shù)量積德坐標(biāo)運算，得到cos2x=0，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；
（Ⅱ）先計算模的平方，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出最大值和取最大值時x的值．

解答 解：（Ⅰ）由a⊥b，得a•b=0，即$cos\frac{3x}{2}cos\frac{x}{2}-sin\frac{3x}{2}sin\frac{x}{2}=0$．
則cos2x=0，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}（k∈{Z}）$．
∴$\left\{{x|x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}，k∈Z}\right\}$為所求．
（Ⅱ）$|{a}-{c}{|^2}={（cos\frac{3x}{2}-\sqrt{3}）^2}+$${（sin\frac{3x}{2}+1）^2}$=$5+4sin（\frac{3x}{2}-\frac{π}{3}）$，
∵-1≤sin（$\frac{3x}{2}$-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴1≤5+4sin（$\frac{3x}{2}$-$\frac{π}{3}$）≤9，
∴|a-c|有最大值為3．
當(dāng)sin（$\frac{3x}{2}$-$\frac{π}{3}$）=1時，即$\frac{3x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，取最大值，
解得x=$\frac{4}{3}$kπ+$\frac{5}{9}$π，k∈Z．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積德坐標(biāo)運算以及三角函數(shù)的化簡，和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．