Question

18．已知定點(diǎn) A（$-\frac{1}{2}$，0），B是圓C：（x $-\frac{1}{2}$）²+y²=4上的一個動點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BC于M點(diǎn)，求動點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 利用橢圓的定義判斷點(diǎn)M的軌跡是以A、C為焦點(diǎn)的橢圓，求出a、b的值，即得橢圓的方程．

解答 解：∵線段AB的垂直平分線交BC于M點(diǎn)，
∴|MB|=|MA|．
又∵|MB|+|MC|=2，
∴|MA|+|MC|=2＞|AC|．
點(diǎn)M的軌跡是以A、C為焦點(diǎn)的橢圓，
此時2a=2，c=$\frac{1}{2}$，∴a=1，b²=$\frac{3}{4}$．
∴動點(diǎn)M的軌跡方程是 ${x^2}+\frac{y^2}{{\frac{3}{4}}}=1$即${x}^{2}+\frac{4{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了用定義法求點(diǎn)的軌跡方程，是中檔題．