Question

9．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（-x），且當x∈（-∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0，a=2^0.1•f（2^0.1），b=（ln2）f（ln2），c=（log₂$\frac{1}{8}$）f（log₂$\frac{1}{8}$），則a，b，c的大小關(guān)系是c＞a＞b．

Answer 1

分析 通過構(gòu)造復合函數(shù)，求導，求符合函數(shù)單調(diào)性，通過單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小

解答 解：設(shè)函數(shù)h（x）=xf（x），有函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，y=x是奇函數(shù)，
得h（x）=xf（x）是函數(shù)R上的奇函數(shù)，
由x∈（-∞，0）時，h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0成立，
∴h（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∵3＞2^0.1＞1，0＜ln2＜1，
丨$lo{g}_{2}\frac{1}{8}$丨=3＞2^0.1＞ln2
即h（3）＞h（2^0.1）＞h（ln2）．
又a=2^0.1•f（2^0.1），b=ln（2）•f（ln2），c=（$lo{g}_{2}\frac{1}{8}$）•f（$lo{g}_{2}\frac{1}{8}$），
∴b＜a＜c
故答案為c＞a＞b

點評 本題考查通過已知條件，構(gòu)造符合函數(shù)，通過求導，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間比較函數(shù)值的大小，屬于中檔題．