Question

14．在△ABC中，A=60°，BC=$\sqrt{10}$，D是AB邊上的一點(diǎn)，CD=$\sqrt{2}$，△BCD的面積為1，則AC的長(zhǎng)為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 在△BDC中，通過(guò)三角形的面積，求出cos∠DCB，由余弦定理求出cos∠BDC，即可求解∠DCB，然后在△ADC中，由正弦定理可求AC．

解答 解：∵BC=$\sqrt{10}$，CD=$\sqrt{2}$，△BCD的面積為1，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{10}$sin∠DCB=1，
∴sin∠DCB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則cos∠DCB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則BD²=CB²+CD²-2CD•CBcos∠DCB=4，得BD=2，
在△BDC中，由余弦定理可得cos∠BDC=$\frac{4+2-10}{2×2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠BDC=135°，∠ADC=45°，
在△ADC中，∠ADC=45°，A=60°，DC=$\sqrt{2}$，
由正弦定理可得，$\frac{AC}{sin45°}=\frac{\sqrt{2}}{sin60°}$，
∴AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，是中檔題．