Question

8．已知二次函數(shù)f（x）=x²+4x+m（m∈R，m為常數(shù)）的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，記過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓為圓C．
（I）求m的取值范圍；
（Ⅱ）試證明圓C過(guò)定點(diǎn)（與m的取值無(wú)關(guān)），并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，得到拋物線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，再令y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于0，即可得到m的范圍；
（Ⅱ）設(shè)所求圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得到關(guān)于x的方程，與已知方程為同一方程，確定出D與F，令x=0得到關(guān)于y的方程，將y=m代入表示出E，將D、E、F代入即可確定出圓C的方程，進(jìn)而可求圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

解答 解：（I）令x=0，得拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)是（0，m）；
令f（x）=x²+4x+m=0，
由題意得：m≠0且△＞0，即m≠0且16-4m＞0
解得：m＜4且m≠0；
（Ⅱ）證明：設(shè)所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0得：x²+Dx+F=0這與x²+4x+m=0=是同一個(gè)方程，故D=4，F(xiàn)=m；
令x=0得：y²+Ey+F=0，此方程有一個(gè)根為m，代入得出E=-m-1，
∴圓C的方程為x²+y²+4x-（m+1）y+m=0．
∴x²+y²+4x-y+（-y+1）m=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+4x-y=0}\\{-y+1=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，1）和（-4，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的一般式方程，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．