Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-mx}{1+x}$．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，用定義證明：f（x）在x∈（0，+∞）上的單調(diào)遞減；
（2）若不恒為0的函數(shù)g（x）=1gf（x）是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明步驟即可．
（2）由不恒為0的函數(shù)g（x）=1gf（x）是奇函數(shù)，可得g（-x）+g（x）=0，即可求實(shí)數(shù)m的值．

解答 （1）證明：當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=$\frac{1-2x}{1+x}$=-2+$\frac{1}{1+x}$，
任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
所以有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$
因?yàn)?＜x₁＜x₂，
所以x₂-x₁＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上的單調(diào)遞減；
（2）解：∵不恒為0的函數(shù)g（x）=1gf（x）是奇函數(shù)，
∴g（-x）+g（x）=0，f（x）≠1
∴1gf（-x）+1gf（x）=0，
∴1g[f（-x）f（x）]=0，
∴f（-x）f（x）=1，
∴$\frac{1+mx}{1-x}$•$\frac{1-mx}{1+x}$=1，
∴m=±1．
∵f（x）≠1
∴m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．