Question

10．關于函數的性質，有如下命題：
①若函數f（x）的定義域為R，則g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數；
②已知f（x）是定義域內的增函數，且f（x）≠0，則$\frac{1}{f（x）}$是減函數；
③若f（x）是定義域為R的奇函數，則函數f（x-2）的圖象關于點（2，0）對稱；
④已知偶函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，則滿足$f（2x-1）＜f（\frac{1}{3}）$的x的取值范圍是$（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$．
其中正確的命題序號有①③④．

Answer 1

分析 ①由于g（-x）=g（x），即可判斷出奇偶性；
②不正確，例如f（x）=x在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上不具有單調性；
③由于f（x）是定義域為R的奇函數，可得f（0）=0，因此f（2-2）=0，可得函數f（x-2）的圖象關于點（2，0）對稱，即可判斷出真假；
④由偶函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，則滿足$f（2x-1）＜f（\frac{1}{3}）$，可得0≤|2x-1|＜$\frac{1}{3}$，解出即可判斷出真假．

解答 解：①若函數f（x）的定義域為R，則g（x）=f（x）+f（-x）滿足g（-x）=g（x），因此一定是偶函數，正確；
②已知f（x）是定義域內的增函數，且f（x）≠0，則$\frac{1}{f（x）}$是減函數，不正確，例如f（x）=x在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上不具有單調性；
③若f（x）是定義域為R的奇函數，f（0）=0，∴f（2-2）=0，則函數f（x-2）的圖象關于點（2，0）對稱，正確；
④已知偶函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，由$f（2x-1）＜f（\frac{1}{3}）$，可得0≤|2x-1|＜$\frac{1}{3}$，解得$\frac{1}{3}＜x＜\frac{2}{3}$，因此x的取值范圍是$（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$，正確．
其中正確的命題序號有①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了函數的奇偶性與單調性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．