Question

10．關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，有如下命題：
①若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數(shù)；
②已知f（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)，且f（x）≠0，則$\frac{1}{f（x）}$是減函數(shù)；
③若f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則函數(shù)f（x-2）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱(chēng)；
④已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，則滿足$f（2x-1）＜f（\frac{1}{3}）$的x的取值范圍是$（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$．
其中正確的命題序號(hào)有①③④．

Answer 1

分析 ①由于g（-x）=g（x），即可判斷出奇偶性；
②不正確，例如f（x）=x在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上不具有單調(diào)性；
③由于f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，可得f（0）=0，因此f（2-2）=0，可得函數(shù)f（x-2）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱(chēng)，即可判斷出真假；
④由偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，則滿足$f（2x-1）＜f（\frac{1}{3}）$，可得0≤|2x-1|＜$\frac{1}{3}$，解出即可判斷出真假．

解答 解：①若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則g（x）=f（x）+f（-x）滿足g（-x）=g（x），因此一定是偶函數(shù)，正確；
②已知f（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)，且f（x）≠0，則$\frac{1}{f（x）}$是減函數(shù)，不正確，例如f（x）=x在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上不具有單調(diào)性；
③若f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f（0）=0，∴f（2-2）=0，則函數(shù)f（x-2）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱(chēng)，正確；
④已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，由$f（2x-1）＜f（\frac{1}{3}）$，可得0≤|2x-1|＜$\frac{1}{3}$，解得$\frac{1}{3}＜x＜\frac{2}{3}$，因此x的取值范圍是$（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$，正確．
其中正確的命題序號(hào)有①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．