Question

9．如圖，在平面α內(nèi)有一條線段AB，分別過A，B作平面α的垂線段AC，BD（在平面α的同一側(cè)），且AC=2BD，連接CD，過B作AB的垂線BE．
（Ⅰ）求證：BE⊥CD；
（Ⅱ）若AB=BE=2，CE=4，求直線AE與平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導(dǎo)出BD⊥BE，BE⊥AB，從而BE⊥平面ABDC，由此能證明BE⊥CD．
（Ⅱ）以B為原點，BE為x軸，BA為y軸，BD為z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出直線AE與平面CDE所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵在平面α內(nèi)有一條線段AB，分別過A，B作平面α的垂線段AC，BD（在平面α的同一側(cè)），
∴BD⊥BE，
∵過B作AB的垂線BE，∴BE⊥AB，
又AB∩BD=B，∴BE⊥平面ABDC，
∵CD?平面ABDC，∴BE⊥CD．
解：（Ⅱ）以B為原點，BE為x軸，BA為y軸，BD為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AB=BE=2，CE=4，AC=2BD，
∴AE=$\sqrt{4+4}$=$2\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{16-8}$=2$\sqrt{2}$，DB=$\sqrt{2}$，
A（0，2，0），E（2，0，0），C（0，2，2$\sqrt{2}$），D（0，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{DE}$=（2，0，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（2，-2，0），
設(shè)平面DCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），
設(shè)直線AE與平面CDE所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線AE與平面CDE所成角的正弦值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．