Question

19．如圖，⊙O的半徑為r，MN切⊙O于點A，弦BC交OA于點Q，BP⊥BC，交MN于點P
（Ⅰ）求證：PQ∥AC；
（Ⅱ）若AQ=a，AC=b，求PQ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AB，推導(dǎo)出OA⊥MN，BP⊥BC，從而B、P、A、Q四點共圓，由此能證明PQ∥AC．
（Ⅱ）過點A作直徑AE，連結(jié)CE，則△ECA為直角三角形．推導(dǎo)出Rt△PAQ∽Rt△ECA，由此能求出PQ．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，連結(jié)AB．
∵MN切⊙O于點A，∴OA⊥MN．?（1分）
又∵BP⊥BC，∴B、P、A、Q四點共圓，（2分）
所以∠QPA=∠ABC．?（3分）
又∵∠CAN=∠ABC，∴∠CAN=∠QPA．?（4分）
∴PQ∥AC．（5分）
解：（Ⅱ）過點A作直徑AE，連結(jié)CE，則△ECA為直角三角形．?（6分）
∵∠CAN=∠E，∠CAN=∠QPA，∴∠E=∠QPA．（7分）
∴Rt△PAQ∽Rt△ECA，∴$\frac{PQ}{EA}$=$\frac{AQ}{CA}$，（9分）
故$PQ=\frac{AQ•EA}{CA}$=$\frac{2ar}$．（10分）

點評 本題考查直線平行的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．