Question

18．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，給出以下結(jié)論：
①AC₁⊥平面A₁BD；
②直線AC₁與平面A₁BD的交點(diǎn)為△A₁BD的外心；
③若點(diǎn)P在△A₁BD所在平面上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐P-B₁CD₁的體積為定值．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 ①根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行證明．
②判斷三棱錐C₁-A₁BD是正三棱錐即可．
③根據(jù)面面平行的判定定理證明平面B₁CD₁∥平面A₁BD即可．

解答 解：①，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵CC₁⊥上底面ABCD，
∴CC₁⊥BD，
又ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
AC∩CC₁=C，
∴BD⊥面ACC₁，
∴AC₁⊥BD，
同理得到AC₁⊥A₁B，
又A₁B∩BD=B，
∴AC₁⊥平面A₁BD，①正確；
②在正方體中，A₁B=A₁D=BD，
則△A₁BD為正三角形，
同時(shí)三棱錐C₁-A₁BD是正三棱錐，
則C₁在面A₁BD的射影為△A₁BD的外心；
∵AC₁⊥平面A₁BD；
∴直線AC₁與平面A₁BD的交點(diǎn)為△A₁BD的外心．故②正確，
③∵B₁C∥A₁D，CD₁∥A₁B，且B₁C∩CD₁=C，
∴平面B₁CD₁∥平面A₁BD，
即點(diǎn)P到平面的B₁CD₁距離為定值，
∴若點(diǎn)P在△A₁BD所在平面上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐P-B₁CD₁的體積為定值．故③正確，
故3個(gè)命題都正確，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)空間直線和平面平行或垂直的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的推理能力．