Question

3．設y=arctan$\sqrt{\frac{x}{1-x}}$求：該曲線在x=$\frac{1}{2}$處的切線方程和法線方程．

Answer 1

分析 先求y=arctanx的導數(shù)，運用換元法，可得y′=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，再由復合函數(shù)的導數(shù)，求得y=arctan$\sqrt{\frac{x}{1-x}}$的導數(shù)，求出切線的斜率和切點，可得切線的方程，進而得到所求法線的方程．

解答 解：先求y=arctanx的導數(shù)，
由y=arctanx，可得x=tany，
$\frac{dx}{dy}$=$\frac{1}{co{s}^{2}y}$=1+tan²y=1+x²，
即有$\frac{dy}{dx}$=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，
則y=arctan$\sqrt{\frac{x}{1-x}}$的導數(shù)為
y′=$\frac{1}{1+\frac{x}{1-x}}$•$\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{1-x}}}$•$\frac{1}{（1-x）^{2}}$，
即有曲線在x=$\frac{1}{2}$處的切線斜率為
$\frac{1}{1+1}$•$\frac{1}{2}$•4=1，
曲線在x=$\frac{1}{2}$處的法線斜率為-1，
切點為（$\frac{1}{2}$，$\frac{π}{4}$），
可得曲線在x=$\frac{1}{2}$處的切線方程為y-$\frac{π}{4}$=x-$\frac{1}{2}$，
即為x-y-$\frac{1}{2}$+$\frac{π}{4}$=0，
法線方程為y-$\frac{π}{4}$=-（x-$\frac{1}{2}$），
即為x+y-$\frac{1}{2}$-$\frac{π}{4}$=0．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線和法線的方程，正確求導和運用直線的點斜式方程是解題的關鍵，屬于中檔題．