Question

5．用細鋼管焊接而成的花壇圍欄構件如右圖所示，它的外框是一個等腰梯形PQRS，內(nèi)部是一段拋物線和一根橫梁．拋物線的頂點與梯形上底中點是焊接點O，梯形的腰緊靠在拋物線上，兩條腰的中點是梯形的腰、拋物線以及橫梁的焊接點A，B，拋物線與梯形下底的兩個焊接點為C，D．已知梯形的高是40厘米，C、D兩點間的距離為40厘米．
（1）求橫梁AB的長度；
（2）求梯形外框的用料長度．
（注：細鋼管的粗細等因素忽略不計，計算結(jié)果精確到1厘米．）

Answer 1

分析 （1）以O為原點，梯形的上底所在直線為x軸，建立直角坐標系，設梯形下底與y軸交于點M，拋物線的方程為：x²=2py（p＜0），利用D（20，-40），求出p，得到拋物線方程，即可求解橫梁AB的長度．
（2）說明梯形腰的中點是梯形的腰與拋物線唯一的公共點設${l_{RQ}}：y+20=k（{x-10\sqrt{2}}）（{k＜0}）$，聯(lián)立在與拋物線方程，通過相切關系，求出直線的斜率，然后求解制作梯形外框的用料長度．

解答 解：（1）如圖，以O為原點，梯形的上底所在直線為x軸，建立直角坐標系，
設梯形下底與y軸交于點M，拋物線的方程為：x²=2py（p＜0），
由題意D（20，-40），得p=-5，x²=-10y…3’，
取$y=-20⇒x=±10\sqrt{2}$，
即$A（{-10\sqrt{2}，-20}），B（{10\sqrt{2}，-20}）$，
$|{AB}|=20\sqrt{2}≈28（{cm}）$
答：橫梁AB的長度約為28cm．…6’
（2）由題意，得梯形腰的中點是梯形的腰與拋物線唯一的公共點
設${l_{RQ}}：y+20=k（{x-10\sqrt{2}}）（{k＜0}）$…7’
$\left\{{\begin{array}{l}{y+20=k（{x-10\sqrt{2}}）}\\{{x^2}=-10y}\end{array}}\right.⇒{x^2}+10kx-100（{2+\sqrt{2}k}）=0$，
則$△=100{k^2}+400（{2+\sqrt{2}k}）=0⇒k=-2\sqrt{2}$，即${l_{RQ}}：y=-2\sqrt{2}x+20$…10’
得$Q（{5\sqrt{2}，0}），R（{15\sqrt{2}，-40}）$$⇒|{OQ}|=5\sqrt{2}，|{MR}|=15\sqrt{2}，|{RQ}|=30\sqrt{2}$，
梯形周長為$2（{5\sqrt{2}+15\sqrt{2}+30\sqrt{2}}）=100\sqrt{2}≈141（{cm}）$．
答：制作梯形外框的用料長度約為141cm…14’

點評 本題考查拋物線方程的應用，直線與拋物線的位置關系的應用，考查分析問題解決問題的能力．