Question

8．在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=CD，∠ADC=90°，BC=DC=2AD，E為四邊形ABCD內(nèi)一點，F(xiàn)為四邊形ABCD外一點，且∠BEC=∠DFC=90°，BE∥CF交CD的中點于N．
（1）已知EC=1，求線段DF的長；
（2）連接BF交EC于G，求證：∠A+$\frac{1}{3}$∠ABF=135°．

Answer 1

分析 （1）延長BN，交DF于G，由已知得四邊形ECFO是矩形，且EC=GF=1，從而能求出DF=2GF=2．
（2）由已知推導(dǎo)出BD=BF，∠DBG=∠FBG，∠CBD=∠CDB=∠ADB=45°，△BDA≌△BDN，由此能求出∠A+$\frac{1}{3}$∠ABF=135°．

解答 （1）解：延長BN，交DF于G，
∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，DC=2AD，
E為四邊形ABCD內(nèi)一點，F(xiàn)為四邊形ABCD外一點，
且∠BEC=∠DFC=90°，BE∥CF交CD的中點于N，
∴四邊形ECFO是矩形，且EC=GF=1，
∵N是DC中點，且CF∥BG，
∴G是DF的中點，∴DF=2GF=2．
（2）證明：由（1）知：BG⊥DF，DG=GF，
∴BD=BF，∠DBG=∠FBG，
∵BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=∠ADB=45°，
∵AD=DN，∠ADB=∠NDB，BD=BD，
∴△BDA≌△BDN，
∴∠ABD=∠NBD=∠FBN，
∴∠ABD=$\frac{1}{3}∠ABF$，
∵∠A+∠ABD=180°-∠ADB=135°，
∴∠A+$\frac{1}{3}$∠ABF=135°．

點評 本題考查線段長的求法，考查兩角和為135°的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角形全等的性質(zhì)的合理運用．