Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），g（x）=f（x）+2且g（x）是偶函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)h（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由g（x）=x²+bsinx-2+2得g（x）=x²+bsinx，利用g（-x）=g（x），求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)h（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)，有h'（x）≥0或h'（x）≤0恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由g（x）=x²+bsinx-2+2得g（x）=x²+bsinx
∵g（-x）=g（x）
∴x²-bsinx=x²+bsinx
∴bsinx=0⇒sinx=0或 b=0
故f（x）=x²-2
（2）由 h（x）=x²-2+2（x+1）+alnx得h（x）=x²+2x+alnx（x＞0），
$h'（x）=2x+2+\frac{a}{x}$（x＞0）
∵h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)，
∴有h'（x）≥0或h'（x）≤0恒成立
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0，
∴a≥-2x²-2x或a≤-2x²-2x
設(shè)t=-2x²-2x，當(dāng)0＜x＜1時，-4＜t＜0，
∴a≥0或a≤-4
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-4]∪[0，+∞）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)知識的應(yīng)用，考查函數(shù)的解析式，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．