Question

11．f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是定義在R上的奇函數(shù)，如圖是該函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象．其中P為圖象與x軸的交點，Q為最低點，R為最高點，$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{QR}$=0，S_△PQR=$\frac{{π}^{2}}{2}$，則方程Asin（ωx+φ）=$\frac{π}{2}$|lgx|的根的個數(shù)為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出三角函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)的圖象的交點問題進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴φ=0，即f（x）=Asinωx，
由圖象知，BP=$\frac{T}{2}$，RC=AQ=A，
則S_△PQR=$\frac{{π}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{T}{2}$×2A=AT，
即π²=AT，①
又△PQB為等腰直角三角形，
∴AP=AQ，即$\frac{T}{4}$=A，即T=4A，②
由①②得A=$\frac{π}{2}$，T=2π，
則ω=1，
則f（x）=$\frac{π}{2}$πsinx，
則由Asin（ωx+φ）=$\frac{π}{2}$|lgx|得$\frac{π}{2}$sinx=$\frac{π}{2}$|lgx|，
即sinx=|lgx|，作出函數(shù)y=sinx和y=|lgx|在同一周期內(nèi)的圖象如圖，
則兩個函數(shù)有4個交點，即方程根的公式為4個，
故選：B．

點評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及根的個數(shù)是判斷，求出函數(shù)的解析式以及利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．