Question

20．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n+1-1=2S_n，且a₁+a₂=3，a₂-a₁=1（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n+（-1）ⁿlog₂a_n}的前2n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）求得a₁=1，a₂=2，將n換為n-1，相減可得a_n+1=2a_n，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求；
（2）求得a_n+（-1）ⁿlog₂a_n=2^n-1+（-1）ⁿ•（n-1），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁+a₂=3，a₂-a₁=1，可得a₁=1，a₂=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+1-1=2S_n，可得S_n-1=2S_n-1，
相減可得a_n+1=2a_n，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，
a_n=a₂q^n-2=2•2^n-2=2^n-1，
上式對n=1也成立．
即有數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1；
（2）a_n+（-1）ⁿlog₂a_n=2^n-1+（-1）ⁿ•（n-1），
前2n項(xiàng)和為$\frac{1-{2}^{2n}}{1-2}$+（0+1）+（-2+3）+（-4+5）+…+（2-2n+2n-1）
=2^2n-1+n．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．