Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）且f（1）=-$\frac{a}{2}$，3a＞2c＞2b
（1）證明：a＞0且b＜0；
（2）證明：函數(shù) f （x）在區(qū)間（0，2內(nèi)至少有一個零點；
（3）設(shè)x₁，x₂ 是函數(shù) f （x）的兩個零點，證明：$\sqrt{2}≤|{x}_{1}-{x}_{2}|＜\frac{\sqrt{57}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（1）=0，可得a，b，c的關(guān)系，再根據(jù)3a＞2c＞2b，將其中的c代換成a與b表示，即可證明：a＞0且b＜0；
（2）求出f（2）的值，根據(jù)已知條件，分別對c的正負(fù)情況進(jìn)行討論即可；
（3）根據(jù)韋達(dá)定理，將|x₁-x₂|轉(zhuǎn)化成用兩個根表示，然后轉(zhuǎn)化成用$\frac{a}$表示，運用（1）的結(jié)論，即可求得|x₁-x₂|的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（1）=a+b+c=-$\frac{a}{2}$，
∴3a+2b+2c=0．
又3a＞2c＞2b．
（2）根據(jù)題意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a-c=a-c．
下面對c的正負(fù)情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)c＞0時，∵a＞0，
∴f（0）=c＞0，f（1）=-$\frac{a}{2}$＜0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個零點；
②當(dāng)c≤0時，∵a＞0，
∴f（1）=-$\frac{a}{2}$＜0，f（2）=a-c＞0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個零點；
綜合①②得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點；
（3）∵x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點
∴x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩根．
故x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$=$\frac{-\frac{3a+2b}{2}}{a}$=$-\frac{3}{2}-\frac{a}$
從而|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（{-\frac{a}）}^{2}-4（-\frac{3}{2}-\frac{a}）}$=$\sqrt{（{\frac{a}+2）}^{2}+2}$．
∵由（1）知a＞0，b＜0，
又2c=-3a-2b及3a＞2c＞2b知3a＞-3a-2b＞2b
∵a＞0，∴3＞-3-$\frac{2b}{a}$＞2•$\frac{a}$，
即-3＜$\frac{a}$＜-$\frac{3}{4}$，
∴$\sqrt{2}≤$|x₁-x₂|$＜\frac{\sqrt{57}}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮；難度較大．