9.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)且f(1)=-$\frac{a}{2}$,3a>2c>2b
(1)證明:a>0且b<0;
(2)證明:函數(shù) f (x)在區(qū)間(0,2內(nèi)至少有一個零點;
(3)設(shè)x1,x2 是函數(shù) f (x)的兩個零點,證明:$\sqrt{2}≤|{x}_{1}-{x}_{2}|<\frac{\sqrt{57}}{4}$.

分析 (1)根據(jù)f(1)=0,可得a,b,c的關(guān)系,再根據(jù)3a>2c>2b,將其中的c代換成a與b表示,即可證明:a>0且b<0;
(2)求出f(2)的值,根據(jù)已知條件,分別對c的正負(fù)情況進(jìn)行討論即可;
(3)根據(jù)韋達(dá)定理,將|x1-x2|轉(zhuǎn)化成用兩個根表示,然后轉(zhuǎn)化成用$\frac{a}$表示,運用(1)的結(jié)論,即可求得|x1-x2|的取值范圍.

解答 解:(1)∵f(1)=a+b+c=-$\frac{a}{2}$,
∴3a+2b+2c=0.
又3a>2c>2b.
(2)根據(jù)題意有f(0)=0,f(2)=4a+2b+c=(3a+2b+2c)+a-c=a-c.
下面對c的正負(fù)情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)c>0時,∵a>0,
∴f(0)=c>0,f(1)=-$\frac{a}{2}$<0
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個零點;
②當(dāng)c≤0時,∵a>0,
∴f(1)=-$\frac{a}{2}$<0,f(2)=a-c>0
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個零點;
綜合①②得函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點;
(3)∵x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點
∴x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩根.
故x1+x2=-$\frac{a}$,x1x2=$\frac{c}{a}$=$\frac{-\frac{3a+2b}{2}}{a}$=$-\frac{3}{2}-\frac{a}$
從而|x1-x2|=$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{({-\frac{a})}^{2}-4(-\frac{3}{2}-\frac{a})}$=$\sqrt{({\frac{a}+2)}^{2}+2}$.
∵由(1)知a>0,b<0,
又2c=-3a-2b及3a>2c>2b知3a>-3a-2b>2b
∵a>0,∴3>-3-$\frac{2b}{a}$>2•$\frac{a}$,
即-3<$\frac{a}$<-$\frac{3}{4}$,
∴$\sqrt{2}≤$|x1-x2|$<\frac{\sqrt{57}}{4}$.

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),對于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,注意抓住二次函數(shù)的開口方向,對稱軸,以及判別式的考慮;難度較大.

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