Question

17．設函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），函數(shù)g（x）=-x²+bx+c，且f（4）-f（2）=1，g（x）的圖象過點A（4，-5）及B（-2，-5）．
（1）求f（x）和g（x）的表達式； 
（2）求函數(shù)g（x）在（0，2）的值域．

Answer 1

分析 （1）使用待定系數(shù)法解出a，b，c；（2）求出g（x）的對稱軸，判斷g（x）在（0，2）上的單調(diào)性，求出g（x）的最值．

解答 解：（1）∵f（4）-f（2）=1，∴l(xiāng)og_a4-log_a2=log_a2=1，∴a=1．∴f（x）=log₂x．
∵g（x）的圖象過點A（4，-5）及B（-2，-5），∴g（x）的對稱軸為x=$\frac{4-2}{2}$=1，∴$\frac{2}=1$，b=2．
∵g（4）=-5，∴-16+8+c=-5．解得c=3．∴g（x）=-x²+2x+3．
（2）∵g（x）的圖象開口向下，對稱軸為x=1，∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在[1，2）上單調(diào)遞減，
∴g（0）＜g（x）≤g（1），∴3＜g（x）≤4．
∴g（x）的值域為（3，4]．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求解，二次函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于基礎題．