Question

15．已知F₂，F(xiàn)₁是雙曲線 $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)F₂關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓內(nèi)，則雙曲線的離心率e為（　�。�

• A． （$\sqrt{3}$，3）
• B． （3，+∞）
• C． （$\sqrt{2}$，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 首先求出F₂到漸近線的距離，利用F₂關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰落在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓上，可得△MF₁F₂為鈍角三角形，運(yùn)用三邊關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，F(xiàn)₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c），
一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，則F₂到漸近線的距離為$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$=b．
設(shè)F₂關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M，F(xiàn)₂M與漸近線交于A，
∴|MF₂|=2b，A為F₂M的中點(diǎn)，
又0是F₁F₂的中點(diǎn)，∴OA∥F₁M，∴∠F₁MF₂為鈍角，
∴△MF₁F₂為鈍角三角形，
∴4c²＞c²+4b²
∴3c²＞4（c²-a²），∴c²＞4a²，
∴c＞2a，
∴e＞2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)以及有關(guān)離心率和漸近線，考查勾股定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．