Question

15．已知點P為矩形ABCD所在平面外一點，AB=3，BC=2，平面PAB∩平面PCD=l．
（1）求證：l⊥AD；
（2）若點P在平面ABCD上的射影0在線段CD上，滿足CO=20D，且直線PB與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{1}{2}$，求四棱錐P-DABO的體積．

Answer 1

分析 （1）過P作PE∥AB，利用平面的性質(zhì)證明l與PE重合即可；
（2）∠PBO為直線PB與平面ABCD所成的角，由勾股定理求出OB，利用tan∠PBO=$\frac{1}{2}$得出PO，代入棱錐的體積公式即可求出棱錐的體積．

解答 證明：（1）過P作PE∥AB，則E∈平面PAB，P∈平面PAB，
∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB⊥AD，∴PE∥CD，∴E∈平面PCD，P∈平面PCD，
∵平面PAB∩平面PCD=l，∴E∈l，P∈l．
∵AD⊥AB，PE∥AB，∴PE⊥AD，即l⊥AD．
（2）∵CO=20D，∴CO=$\frac{2}{3}$CD=2，OD=1，∴OB=$\sqrt{B{C}^{2}+C{O}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵PO⊥平面ABCD，OB?平面ABCD，
∴PO⊥OB，∠PBO為直線PB與平面ABCD所成的角，∴tan∠PBO=$\frac{PO}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴PO=$\sqrt{2}$．
∴V_棱錐P-DABO=$\frac{1}{3}$S_梯形DABO•PO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+3）×2×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了平面的性質(zhì)應(yīng)用，空間角，棱錐的體積計算，屬于中檔題．