Question

11．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow$=（sinx-cosx，1），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）圖象的對稱中心坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{4}$]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式得出f（x）解析式并化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出對稱中心；
（2）根據(jù)x的范圍解出2x-$\frac{π}{4}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出f（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1=2sinxcosx-2cos²x+1=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，得x=$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，∴f（x）的圖象的對稱中心為（$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z．
（2）∵x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{4}$]，∴2x-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{5π}{4}$]，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時，f（x）取得最小值-1，當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．