Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F別是AB、PD的中點(diǎn)．若PA=AD=CD=4．
（Ⅰ）求證：EF⊥AC；
（Ⅱ）求直線FC平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）找出AD邊上的中點(diǎn)M，連接FM，EM，得到FM與面ABCD垂直，進(jìn)而得到AC與FM垂直，再由中位線定理得到AC垂直于EM，得到AC與面EFM中兩條相交的直線垂直，即AC垂直于面EFM，即可得證；
（2）建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，表示出$\overrightarrow{FC}$以及法向量$\overrightarrow{n}$，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則求出直線FC平面PCE所成角的正弦值即可．

解答 解：（1）找出AD邊上的中點(diǎn)M，連接FM，EM，
可得FM⊥面ABCD，即AC⊥FM；
∵EM∥BD，AC⊥BD，
∴AC⊥EM，
∵FM與EM相交，
∴AC⊥面EFM，
則AC⊥EF；
（2）建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
∴C（4，4，0），F(xiàn)（0，2，2），
∴$\overrightarrow{FC}$=（-4，-2，2），
設(shè)法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵E（2，0，0），P（0，0，4），C（4，4，0），
∴$\overrightarrow{EP}$=（-2，0，4），$\overrightarrow{EC}$=（2，4，0），
∵$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{EP}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{EC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4z=0}\\{2x+4y=0}\end{array}\right.$，
取x=2，得到y(tǒng)=-1，z=1，即$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
∴|cos＜$\overrightarrow{FC}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{FC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{1}{3}$，
則直線FC平面PCE所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．