Question

19．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c．已知a+c=3$\sqrt{3}$，b=3．
（I）求cosB的最小值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$=3，求A的大�。�

Answer 1

分析 （I）根據(jù)基本不等式求出ac的最大值，利用余弦定理得出cosB的最小值；
（II）利用余弦定理列方程解出a，c，cosB，使用正弦定理得出sinA．

解答 解：（I）在△ABC中，由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac-^{2}}{2ac}$=$\frac{9}{ac}-1$．
∵ac≤（$\frac{a+c}{2}$）²=$\frac{27}{4}$．
∴當(dāng)ac=$\frac{27}{4}$時，cosB取得最小值$\frac{1}{3}$．
（II）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB．
∵$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$=accosB=3．
∴9=a²+c²-6，∴a²+c²=15．
又∵a+c=3$\sqrt{3}$，∴ac=6．
∴a=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{3}$或a=$\sqrt{3}$，c=2$\sqrt{3}$．
∴cosB=$\frac{1}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
∴sinA=$\frac{asinB}$=1或$\frac{1}{2}$．
∴A=$\frac{π}{2}$或A=$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．