Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-|2x-1|．
（1）當a=2時，求f（x）+3≥0的解集；
（2）當x∈[1，3]時，f（x）≤3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的不等式組，求出不等式的解集即可；（2）根據(jù)x的范圍，去掉絕對值號，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當a=2時，由f（x）≥-3，可得|x-2|-|2x-1|≥-3，
①$\left\{\begin{array}{l}x＜\frac{1}{2}\\ 2-x+2x-1≥-3\end{array}\right.$或②$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}≤x＜2\\ 2-x-2x+1≥-3\end{array}\right.$或③$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\ x-2-2x+1≥-3\end{array}\right.$，
解①得$-4≤x＜\frac{1}{2}$；解②得$\frac{1}{2}≤x＜2$；解③得x=2，
綜上所述，不等式的解集為{x|-4≤x≤2}；
（2）若當x∈[1，3]時，f（x）≤3成立，
即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2，
故-2x-2≤x-a≤2x+2，
即：-3x-2≤-a≤x+2，
∴-x-2≤a≤3x+2對x∈[1，3]時成立，
∴a∈[-3，5]．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．