Question

11．已知函數(shù)F（x）=lnx，f（x）=$\frac{1}{2}$x²+a，a為常數(shù)，直線l與函數(shù)F（x）和f（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)F（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于1．
（Ⅰ）求直線l的方程和a的值；
（Ⅱ）求證：關(guān)于x的不等式F（1+x²）≤ln2+f（x）的解集為（-∞，+∞）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)F（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程，化成斜截式即可，再根據(jù)直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切建立等量關(guān)系，即可求出a的值；
（Ⅱ）設(shè)H（x）=F（1+x²）-f（x）-ln2=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$-ln2，求出導(dǎo)數(shù)，首先考慮x＞0時(shí)，求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，再由函數(shù)的奇偶性可得最大值為0，即可得證．

解答 （Ⅰ）解：F′（x）=$\frac{1}{x}$，F(xiàn)′（1）=1，故直線l的斜率為1，
切點(diǎn)為（1，f（1）），即（1，0），
∴直線l：y=x-1 ①
又∵f′（x）=x，直線l：y=x-1與函數(shù)g（x）的圖象都相切，
∴令f′（x）=1，解得x=1，即切點(diǎn)為（1，$\frac{1}{2}$+a），
∴直線l：y-（$\frac{1}{2}$+a）=x-1，即y=x-$\frac{1}{2}$+a②
比較①和②的系數(shù)得-$\frac{1}{2}$+a=-1，
∴a=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）證明：設(shè)H（x）=F（1+x²）-f（x）-ln2=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$-ln2，
H′（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$-x=$\frac{x-{x}^{3}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{x（1-x）（1+x）}{1+{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，H′（x）＞0，H（x）遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，H′（x）＜0，H（x）遞減．
即有x＞0時(shí)，H（x）有最大值，且為H（1）=0；
由于H（-x）=H（x），則H（x）為偶函數(shù)，
則H（-1）=H（1）=0，
即有x＜0時(shí)，H（x）的最大值為H（-1）=0．
則H（x）≤0．即x∈R時(shí)，F(xiàn)（1+x²）-f（x）-ln2≤0．
即關(guān)于x的不等式F（1+x²）≤ln2+f（x）的解集為（-∞，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，同時(shí)考查了不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值的思想，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值以及函數(shù)的奇偶性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．