Question

17．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中點，AC=BC=1，AA₁=2．
（1）求證：平面AB₁E⊥平面AA₁B₁B；
（2）求三棱錐C-AB₁E的高．

Answer 1

分析 （1）取AB₁的中點G，連接EG，F(xiàn)G，證明CF∥EG，推出EG⊥平面AA₁B₁B，再證明平面AB₁E⊥平面AA₁B₁B．
（2）利用${V}_{{C-EB}_{1}A}$=${V}_{{A-EB}_{1}C}$，轉(zhuǎn)化求解三棱錐C-AB₁E在底面AB₁E上的高為．

解答 （1）證明：取AB₁的中點G，連接EG，F(xiàn)G，
∵F、G分別是AB、AB₁的中點，∴FG∥BB₁，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BB₁．
∵E為側(cè)棱CC₁的中點，
∴FG∥EC，F(xiàn)G=EC，∴四邊形FGEC是平行四邊形，∴CF∥EG，
∵CF⊥平面AA₁B₁B，∴EG⊥平面AA₁B₁B
又EG?平面AB₁E，∴平面AB₁E⊥平面AA₁B₁B…（6分）
（2）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∴BB₁⊥平面ABC．
又AC?平面ABC，∴AC⊥BB₁，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵BB₁∩BC=B，∴AC⊥平面EB₁C，∴AC⊥CB₁，
E是棱CC₁的中點，AC=BC=1，AA₁=2．
∴${V}_{{A-EB}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$${S}_{{△EB}_{1}C}$•AC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×1×1$×1=$\frac{1}{6}$．
∵AE=EB₁=$\sqrt{2}$，AB₁=$\sqrt{6}$，∴${S}_{{△EB}_{1}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵${V}_{{C-EB}_{1}A}$=${V}_{{A-EB}_{1}C}$，
∴三棱錐C-AB₁E在底面AB₁E上的高為$\frac{3{V}_{{C-EB}_{1}A}}{{S}_{{△EB}_{1}A}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定定理以及直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．