Question

5．已知函數(shù)f（x）=a（1-2|x-$\frac{1}{2}$|），a為常數(shù)且a＞0，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的面積；
（Ⅱ）若x₀滿足f（f（x₀））=x₀，且f（x₀）≠x₀，則稱x₀為函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)，如果f（x）有兩個二階周期點(diǎn)x₁，x₂，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）代入三角形的面積公式求出即可；（Ⅱ）通過分類討論a的范圍結(jié)合二階周期點(diǎn)的定義求出a的范圍即可．

解答 解：（I）由題，函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于（0，0），（1，0），且有最大值為a，
故所求即為 $\frac{1}{2}$a------（4分）
（Ⅱ）分類討論如下：
（1）當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時，有f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{{4a}^{2}x，x≤\frac{1}{2}}\\{{4a}^{2}（1-x），x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以f（f（x））=x只有一個解x=0，又f（0）=0，故0不是二階周期點(diǎn)．
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，有f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤\frac{1}{2}}\\{1-x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以f（f（x））=x有解集{x|x≤$\frac{1}{2}$}，
又當(dāng)x≤$\frac{1}{2}$時，f（x）=x，故{x|x≤$\frac{1}{2}$}中的所有點(diǎn)都不是二階周期點(diǎn)．
（3）當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時，有f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{{4x}^{2}x，x≤\frac{1}{4a}}\\{2a-{4a}^{2}x，\frac{1}{4a}＜x≤\frac{1}{2}}\\{2a（1-2a）+{4}^{2}x，\frac{1}{2}＜x≤\frac{4a-1}{4a}}\\{{4a}^{2}-{4a}^{2}x，x＞\frac{4a-1}{4a}}\end{array}\right.$，
所以f（f（x））=x有四個解0，$\frac{2a}{1+{4a}^{2}}$，$\frac{2a}{1+2a}$，$\frac{{4a}^{2}}{1+{4a}^{2}}$，
又f（0）=0，f（$\frac{2a}{1+2a}$）=$\frac{2a}{1+2a}$，
f（$\frac{2a}{1+{4a}^{2}}$）≠$\frac{2a}{1+{4a}^{2}}$，f（$\frac{{4a}^{2}}{1+{4a}^{2}}$）≠$\frac{{4a}^{2}}{1+{4a}^{2}}$，
故只有$\frac{2a}{1+{4a}^{2}}$，$\frac{{4a}^{2}}{1+{4a}^{2}}$是f（x）的二階周期點(diǎn)，
綜上所述，所求a的取值范圍為a＞$\frac{1}{2}$------（12分）

點(diǎn)評 本題考察了求新定義問題，考察分類討論思想，是一道中檔題．