Question

9．命題P：關(guān)于x的不等式x²+ax+1＞0對一切x∈R恒成立，命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{a-4}$+$\frac{{y}^{2}}{a+2}$=1表示雙曲線，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題P：關(guān)于x的不等式x²+ax+1＞0對一切x∈R恒成立，可得△＜0，解得a范圍．命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{a-4}$+$\frac{{y}^{2}}{a+2}$=1表示雙曲線，可得（a-4）（a+2）＜0，解得a范圍．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得p與q必然一真一假，即可得出．

解答 解：命題P：關(guān)于x的不等式x²+ax+1＞0對一切x∈R恒成立，∴△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2．
命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{a-4}$+$\frac{{y}^{2}}{a+2}$=1表示雙曲線，∴（a-4）（a+2）＜0，解得-2＜a＜4．
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，
∴p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{a≤-2或a≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2或a≥2}\\{-2＜a＜4}\end{array}\right.$，
解得a∈∅或2≤a＜4．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，4）．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．