Question

11．若函數(shù)f（x），g（x）分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f（x）-g（x）=e^x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求g（0）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意用-x代替x，得f（-x）-g（-x）=e^-x，利用f（x）、g（x）分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于f（x）和g（x）另外一個方程，再與已知方程聯(lián)列，解之可得f（x），g（x）的解析式；
（2）由（1）中g(shù)（x）的解析式，將x=0代入可得答案．

解答 解：（1）∵f（x），g（x）分別為R上的奇函數(shù)，偶函數(shù)f（x）-g（x）=e^x①
∴f（-x）-g（-x）=e^-x
∴-f（x）-g（x）=e^-x②
①-②得：f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x），
①+②得：g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x），
（2）g（0）=$\frac{1}{2}$（e⁰+e⁰）=1．

點評 本題考查的知識點函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件構(gòu)造出第二個方程-f（x）+g（x）=e^-x，是解答本題的關(guān)鍵．