Question

17．設(shè)平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+2x+b（x∈R）的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C．求：
（Ⅰ）若b=-3求圓C的方程；
（Ⅱ）滿足條件的b的取值范圍；
（Ⅲ）問圓C是否經(jīng)過某定點（其坐標(biāo)與b無關(guān)）？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （I）設(shè)所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得，x²+Dx+F=0，這與x²+2x-3=0是同一個方程，
故D=2，F(xiàn)=-3．令x=0得，y²+Ey+F=0，此方程有一個根為-3，代入得出E=2，由此求得圓C的一般方程．
（II）令x=0得拋物線與y軸交點（0，b），令f（x）=x²+2x+b，由題意b≠0，且△=4-4b＞0，解得實數(shù)b的
取值范圍．
（III）把圓C的方程改寫為x²+y²+2x-y-b（y-1）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-y=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，求出定點的坐標(biāo)．

解答 （I）解：設(shè)所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
由題意得f（x）=x²+2x-3（x∈R）的圖象與兩坐標(biāo)軸的三個交點，即圓x²+y²+Dx+Ey+F=0和坐標(biāo)軸的交點，
令y=0得，x²+Dx+F=0，由題意可得，這與x²+2x-3=0是同一個方程，故D=2，F(xiàn)=-3．
令x=0得，y²+Ey+F=0，由題意可得，此方程有一個根為-3，代入此方程得出E=2，
所以圓C的一般方程為x²+y²+2x+2y-3=0．
（II）解：令x=0得拋物線與y軸交點是（0，b）；令f（x）=x²+2x+b，由題意b≠0，
且△=4-4b＞0，解得b＜1，且b≠0．
即實數(shù)b的取值范圍 {b|b＜1，且b≠0 }．
（III）證明：把圓C的方程改寫為x²+y²+2x-y-b（y-1）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-y=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，故圓C 過定點（0，1）和（-2，1）．

點評 本題主要考查求圓的方程，本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．