Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1（{n=1，2}）\\{a_{n-1}}+{a_{n-2}}（{n≥3}）\end{array}\right.$，則a₂₀₁₆除以4所得到的余數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1（{n=1，2}）\\{a_{n-1}}+{a_{n-2}}（{n≥3}）\end{array}\right.$，可得a₁=a₂=1，a₃=2，a₄=3，a₅=5，a₆=8，a₇=13，a₈=21，a₉=34，a₁₀=55，a₁₁=89，a₁₂=144，…，為斐波那契數(shù)列，可得a_n除以4d的余數(shù)分別為：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即可得出周期性．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1（{n=1，2}）\\{a_{n-1}}+{a_{n-2}}（{n≥3}）\end{array}\right.$，
∴a₁=a₂=1，a₃=2，a₄=3，a₅=5，a₆=8，a₇=13，a₈=21，a₉=34，a₁₀=55，a₁₁=89，a₁₂=144，…，
為斐波那契數(shù)列，
∴a_n=$\frac{1}{\sqrt{5}}$$[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n+1}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n+1}]$，
可得a_n除以4d的余數(shù)分別為：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，
其余數(shù)的周期為6，
而2016=4×504，
∴a₂₀₁₆除以4所得到的余數(shù)是0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、整除的理論，考查了推理能力與技能數(shù)列，屬于中檔題．