Question

14．若方程$\frac{1}{lnx}$-ax=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（0，+∞）∪{-e}．

Answer 1

分析 先分離參數(shù)a得$\frac{1}{a}$=xlnx，并構(gòu)造函數(shù)f（x）=xlnx，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定函數(shù)的值域，由此得出a的取值范圍．

解答 解：對(duì)于方程方程$\frac{1}{lnx}$-ax=0，其中x∈（0，1）∪（1，+∞），
再分離參數(shù)a得，$\frac{1}{a}$=xlnx，記f（x）=xlnx，
則令f'（x）=1+lnx=0，解得，x=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，f'（x）＜0；x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，
所以，f（x）先減后增，在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值，也是函數(shù)的最小值，
即f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，所以，f（x）的值域?yàn)椋?$\frac{1}{e}$，+∞），
又∵x→0時(shí)，F(xiàn)（x）→0，如右圖，
∴要使原方程只有一個(gè)實(shí)根，則$\frac{1}{a}$∈（0，+∞）∪{-$\frac{1}{e}$}，
解得，a∈（0，+∞）∪{-e}，
故答案為：（0，+∞）∪{-e}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了根的存在性和根的個(gè)數(shù)的判斷，涉及導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的單調(diào)性和最值中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．