Question

4．如圖，已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，∠ACB=$\frac{π}{3}$，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）當(dāng)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積最大時(shí)，求三棱錐A₁-AB₁D的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A₁B∩AB₁=O，連接OD，利用三角形的中位線定理可得：A₁C∥OD，利用線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）當(dāng)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積最大時(shí)，體積最大，利用余弦定理與基本不等式的性質(zhì)可得：當(dāng)AC=BC，三角形ABC為正三角形時(shí)取最大值．由于A₁C∥平面AB₁D，可得點(diǎn)A₁和C到平面AB₁D的距離相等，利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)A₁B∩AB₁=O，連接OD，
則OD為三角形A₁BC的中位線，
∴A₁C∥OD，OD⊆平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）解：當(dāng)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積最大時(shí)，體積最大，
$\begin{array}{c}4=A{B}^{2}=A{C}^{2}+B{C}^{2}-2AC•BC•cos\frac{π}{3}\end{array}\right.$
≥$\begin{array}{c}\\ 2AC•BC-AC•BC=AC•BC\end{array}\right.$，
當(dāng)AC=BC，三角形ABC為正三角形時(shí)取最大值，
∵A₁C∥平面AB₁D，
∴點(diǎn)A₁和C到平面AB₁D的距離相等，
∴${V_{{A_1}-A{B_1}D}}={V_{C-A{B_1}D}}={V_{{B_1}-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•B{B_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、余弦定理、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，考查了空間想象能力，屬于中檔題．