Question

13．給出下列說法：
①集合A={x∈Z|x=2k-1，k∈Z}與集合B={x∈Z|x=2k+1，k∈Z}是相等集合；
②若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)f（2x）的定義域?yàn)閇0，4]；
③定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)a、b，總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0成立，則f（x）在R上是增函數(shù)；
④存在實(shí)數(shù)m，使f（x）=x²+mx+1為奇函數(shù)．
正確的有①③．

Answer 1

分析 由集合相等的概念判斷①；直接求出函數(shù)的定義域判斷②；由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷③；由奇函數(shù)的性質(zhì)：定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)有f（0）=0判斷④．

解答 解：①集合A={x∈Z|x=2k-1，k∈Z}與集合B={x∈Z|x=2k+1，k∈Z}均為奇數(shù)集，是相等集合，故①正確；
②若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，則由0≤2x≤2，解得0≤x≤1，函數(shù)f（2x）的定義域?yàn)閇0，1]，故②錯(cuò)誤；
③定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)a、b，總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0成立，即當(dāng)a＞b時(shí)，有f（a）＞f（b），則f（x）在R上是增函數(shù)，故③正確；
④函數(shù)f（x）=x²+mx+1的定義域?yàn)镽，若函數(shù)為奇函數(shù)，則f（0）=0，即1=0，矛盾，∴對(duì)任意實(shí)數(shù)m，函數(shù)f（x）=x²+mx+1不會(huì)是奇函數(shù)，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了集合相等的概念，考查了與抽象函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域的求法，考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)，是中檔題．