Question

8．下列函數(shù)中，滿足“f（x+y）=f（x）f（y）”的單調(diào)遞增函數(shù)是（　�。�

• A． f（x）=x³
• B． f（x）=lgx
• C． $f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}$
• D． f（x）=3^x

Answer 1

分析 可先設(shè)f（x）為指數(shù)函數(shù)，并給出證明，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的要求，得出D選項(xiàng)符合題意．

解答 解：指數(shù)函數(shù)滿足條件“f（x+y）=f（x）f（y）”，驗(yàn)證如下：
設(shè)f（x）=a^x，則f（x+y）=a^x+y，
而f（x）f（y）=a^x•a^y=a^x+y，
所以，f（x+y）=f（x）f（y），
再根據(jù)題意，要使f（x）單調(diào)遞增，只需滿足a＞1即可，
參考各選項(xiàng)可知，f（x）=3^x，即為指數(shù)函數(shù)，又為增函數(shù)，
故答案為：D．

點(diǎn)評 本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及同底指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．