Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，0＜|φ|＜π）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求g（x）=f（3x+$\frac{π}{4}$）-1在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖求出ω的值，從而求得該函數(shù)的解析式．
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用先求函數(shù)解析式g（x）=2cos2x-1，由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，利用余弦函數(shù)的圖形和性質(zhì)即可得解其值域．

解答 解：（1）由圖形可得：A=2，…2分
將點(diǎn)（0，$\sqrt{3}$），（$\frac{π}{2}$，$\sqrt{3}$）代入，有φ$\left\{\begin{array}{l}{sinφ=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{sin（\frac{π}{2}ω+φ）=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，…5分
∵0＜|φ|＜π，
∴$\left\{\begin{array}{l}{φ=\frac{π}{3}}\\{ω=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，…7分
故f（x）=2sin（$\frac{2x}{3}$+$\frac{π}{3}$）．…8分
（2）g（x）=f（3x+$\frac{π}{4}$）-1=2sin[$\frac{2}{3}$（3x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]-1
=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）-1=2cos2x-1，…12分
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，cos2x∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
故g（x）=f（3x+$\frac{π}{4}$）-1在∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域?yàn)椋篬-2，1]．…15分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，求解析式時(shí)由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖求出ω的值，屬于中檔題．