Question

2．已知圓C：x²-y²+2x-4y+3=0．
（1）若直線l與圓C相切，且在x軸和y軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）從圓C外一點P引該圓的一條切線，切點為M，若|PM|=|PO|（O）為坐標(biāo)原點，求點P的軌跡方程及|PM|最小點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 1）把圓的方程化為標(biāo)準方程，找出圓心坐標(biāo)和半徑，分類討論，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于圓的半徑列出關(guān)于a的方程，求出方程的解可得到a的值，確定出直線l的方程；
（2）由切線的性質(zhì)，得到三角形PCM為直角三角形，利用勾股定理得到|PC|²=|PM|²+r²，表示出|PM|²，由|PM|=|PO|，進而得到|PO|²，由設(shè)出的P的坐標(biāo)和原點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式表示出|PO|，可得出|PO|²，兩者相等，化簡可得點P的軌跡方程．

解答 解：（1）將圓C配方得（x+1）²+（y-2）²=2．
直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零，設(shè)直線方程為x+y-a=0，
由$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，得|a-1|=2，即a=-1，或a=3．
∴直線方程為x+y+1=0，或x+y-3=0
直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零，設(shè)直線方程為kx+y=0，
由$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$得k=-2±$\sqrt{6}$．
∴直線方程為（-2±$\sqrt{6}$）x+y=0
綜上所述，直線方程為（-2±$\sqrt{6}$）x+y=0或x+y+1=0，或x+y-3=0；…（6分）
（2）由于|PC|²=|PM|²+|CM|²=|PM|²+r²，
∴|PM|²=|PC|²-r²．
又∵|PM|=|PO|，
∴|PC|²-r²=|PO|²，
∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²．
∴2x-4y+3=0即為所求．…（12分）

點評 此題考查了圓的切線方程，以及動點的軌跡方程，涉及的知識有：圓的標(biāo)準方程，點到直線的距離公式，直線的截距式方程，切線的性質(zhì)，勾股定理以及兩點間的距離公式，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，常常利用切線長，圓的半徑及圓心到圓外點的距離構(gòu)造直角三角形來解決問題．