Question

4．某革命老區(qū)為帶動(dòng)當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)效益與社會(huì)效益雙贏，精心準(zhǔn)備了三個(gè)獨(dú)立的方案；方案一：紅色文化體驗(yàn)專營(yíng)經(jīng)濟(jì)帶，案二：農(nóng)家樂休閑區(qū)專營(yíng)經(jīng)濟(jì)帶，方案三：愛國(guó)主義教育基礎(chǔ)，通過委托民調(diào)機(jī)構(gòu)對(duì)這三個(gè)方案的調(diào)查，結(jié)果顯示它們能被民眾選中的概率分別為$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{3}$．
（1）求三個(gè)方案至少有兩個(gè)被選中的概率；
（2）記三個(gè)方案被選中的個(gè)數(shù)為?，試求?的期望．

Answer 1

分析 記三個(gè)方案記為甲、乙、丙，被選中的事件分別為A，B，C，則P（A）=$\frac{2}{5}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，P（C）=$\frac{1}{3}$
（1）“只有兩個(gè)方案被選中”可分為三種情形：①甲未被選中，乙、丙被選中，②乙未被選中，甲、丙被選中，③丙未被選中，甲、乙被選中，3個(gè)方案被選中，概率為$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$從而求概率；
（2）由題意可知?的可能取值為0，1，2，3．求其概率從而求數(shù)學(xué)期望．

解答 解：記三個(gè)方案記為甲、乙、丙，被選中的事件分別為A，B，C，則P（A）=$\frac{2}{5}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，P（C）=$\frac{1}{3}$．
（1）“只有兩個(gè)方案被選中”可分為三種情形：
①甲未被選中，乙、丙被選中，概率為P₁=$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{20}$．
②乙未被選中，甲、丙被選中，概率為P₂=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{30}$．
③丙未被選中，甲、乙被選中，概率為P₃=$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{5}$．
以上三種情況是互斥的．因此只有兩個(gè)方案被選中的概率為P=$\frac{23}{60}$．
3個(gè)方案被選中，概率為$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$，
∴三個(gè)方案至少有兩個(gè)被選中的概率為$\frac{23}{60}$+$\frac{1}{10}$=$\frac{29}{60}$；
（2）由題意可知?的可能取值為0，1，2，3．
P（?=0）=$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$；
P（?=1）=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{25}{60}$；
由（1）知P（?=2）=$\frac{23}{60}$；
P（?=3）=$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$．
故E?=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{25}{60}$+2×$\frac{23}{60}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{89}{60}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的計(jì)算，屬于中檔題．