Question

4．某革命老區(qū)為帶動當?shù)亟?jīng)濟的發(fā)展，實現(xiàn)經(jīng)濟效益與社會效益雙贏，精心準備了三個獨立的方案；方案一：紅色文化體驗專營經(jīng)濟帶，案二：農(nóng)家樂休閑區(qū)專營經(jīng)濟帶，方案三：愛國主義教育基礎，通過委托民調(diào)機構(gòu)對這三個方案的調(diào)查，結(jié)果顯示它們能被民眾選中的概率分別為$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{3}$．
（1）求三個方案至少有兩個被選中的概率；
（2）記三個方案被選中的個數(shù)為?，試求?的期望．

Answer 1

分析 記三個方案記為甲、乙、丙，被選中的事件分別為A，B，C，則P（A）=$\frac{2}{5}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，P（C）=$\frac{1}{3}$
（1）“只有兩個方案被選中”可分為三種情形：①甲未被選中，乙、丙被選中，②乙未被選中，甲、丙被選中，③丙未被選中，甲、乙被選中，3個方案被選中，概率為$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$從而求概率；
（2）由題意可知?的可能取值為0，1，2，3．求其概率從而求數(shù)學期望．

解答 解：記三個方案記為甲、乙、丙，被選中的事件分別為A，B，C，則P（A）=$\frac{2}{5}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，P（C）=$\frac{1}{3}$．
（1）“只有兩個方案被選中”可分為三種情形：
①甲未被選中，乙、丙被選中，概率為P₁=$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{20}$．
②乙未被選中，甲、丙被選中，概率為P₂=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{30}$．
③丙未被選中，甲、乙被選中，概率為P₃=$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{5}$．
以上三種情況是互斥的．因此只有兩個方案被選中的概率為P=$\frac{23}{60}$．
3個方案被選中，概率為$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$，
∴三個方案至少有兩個被選中的概率為$\frac{23}{60}$+$\frac{1}{10}$=$\frac{29}{60}$；
（2）由題意可知?的可能取值為0，1，2，3．
P（?=0）=$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$；
P（?=1）=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{25}{60}$；
由（1）知P（?=2）=$\frac{23}{60}$；
P（?=3）=$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$．
故E?=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{25}{60}$+2×$\frac{23}{60}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{89}{60}$．

點評 本題考查了數(shù)學期望的求法，考查概率的計算，屬于中檔題．