Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+2，
（1）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立．通過(guò)計(jì)算，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a=-1，問(wèn)x取何值時(shí)，使得f（log₂x）＞f（1），且log₂f（x）＜f（1）成立．

Answer 1

分析 （1）先判斷出函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸是x=-$\frac{a}{2}$=1，從而求出a的值即可；（2）將a=-1代入f（x）的表達(dá)式，從而求出關(guān)于滿足條件的x的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）∵?x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），
則函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸是x=-$\frac{a}{2}$=1，解得：a=-2；
（2）a=-1時(shí)：f（x）=x²-x+2，
若f（log₂x）＞f（1），
則${{（log}_{2}^{x}）}^{2}$-${log}_{2}^{x}$+2＞2，
解得：x＞2或0＜x＜1，①
由log₂f（x）＜f（1），
得：${log}_{2}^{{x}^{2}-x+2}$＜2，
即：0＜x²-x+2＜4，解得：1＜x＜2，②，
由①②得：不存在滿足條件的實(shí)數(shù)x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．