Question

12．已知點P（2，1），點Q（a，2）
（1）求過點P、點Q的直線方程；
（2）求過點P且與兩坐標軸截距相等的直線方程；
（3）過點P（2，1）作直線l分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點，求|PA|•|PB|的值最小時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）當a=2時直線不存在斜率其方程為x=2，當a≠2時，利用兩點連線的斜率公式求出PQ的斜率，利用直線方程的點斜式寫出直線方程即可；
（2）分兩種情況考慮，第一：當所求直線與兩坐標軸的截距不為0時，設出該直線的方程為x+y=a，把已知點坐標代入即可求出a的值，得到直線的方程；第二：當所求直線與兩坐標軸的截距為0時，設該直線的方程為y=kx，把已知點的坐標代入即可求出k的值，得到直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線的方程；
（3）設∠BAO=θ，由 PA•PB，可得 2θ=90°時，PA•PB 取最小值，此時，直線的傾斜角為135°，斜率為-1，用點斜式求得直線l的方程．

解答 解：（1）①當a=2時，直線l的方程為x=2．
②當a≠2時，k_PQ=$\frac{2-1}{a-2}$=$\frac{1}{a-2}$，
又經(jīng)過點P（2，1），由點斜式得方程：y-1=$\frac{1}{a-2}$（x-2）
即：x-（a-2）y+a-4=0；
（2）①當所求的直線與兩坐標軸的截距不為0時，設該直線的方程為x+y=a，
把P（2，1）代入所設的方程得：a=3，則所求直線的方程為x+y=3即x+y-3=0；
②當所求的直線與兩坐標軸的截距為0時，設該直線的方程為y=kx，
把（2，1）代入所求的方程得：k=$\frac{1}{2}$，則所求直線的方程為y=2x即x-2y=0．
綜上，所求直線的方程為：x-2y=0或x+y-3=0；
（3）：如圖所示：設∠BAO=θ，0°＜θ＜90°，PA=$\frac{1}{sinθ}$，PB=$\frac{2}{cosθ}$，
∴|PA|•|PB|=$\frac{2}{sinθ•cosθ}$=$\frac{4}{sin2θ}$，∴2θ=90°，即θ=45°時，
|PA|•|PB|取最小值，此時，直線的傾斜角為135°，斜率為-1，直線l的方程為y-1=-1（x-2），
化簡可得x+y-3=0．

點評 此題考查學生會根據(jù)條件設出直線的截距式方程和點斜式方程，考查了分類討論的數(shù)學思想，是一道綜合題．