12.已知點P(2,1),點Q(a,2)
(1)求過點P、點Q的直線方程;
(2)求過點P且與兩坐標軸截距相等的直線方程;
(3)過點P(2,1)作直線l分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點,求|PA|•|PB|的值最小時直線l的方程.

分析 (1)當a=2時直線不存在斜率其方程為x=2,當a≠2時,利用兩點連線的斜率公式求出PQ的斜率,利用直線方程的點斜式寫出直線方程即可;
(2)分兩種情況考慮,第一:當所求直線與兩坐標軸的截距不為0時,設出該直線的方程為x+y=a,把已知點坐標代入即可求出a的值,得到直線的方程;第二:當所求直線與兩坐標軸的截距為0時,設該直線的方程為y=kx,把已知點的坐標代入即可求出k的值,得到直線的方程,綜上,得到所有滿足題意的直線的方程;
(3)設∠BAO=θ,由 PA•PB,可得 2θ=90°時,PA•PB 取最小值,此時,直線的傾斜角為135°,斜率為-1,用點斜式求得直線l的方程.

解答 解:(1)①當a=2時,直線l的方程為x=2.
②當a≠2時,kPQ=$\frac{2-1}{a-2}$=$\frac{1}{a-2}$,
又經(jīng)過點P(2,1),由點斜式得方程:y-1=$\frac{1}{a-2}$(x-2)
即:x-(a-2)y+a-4=0;
(2)①當所求的直線與兩坐標軸的截距不為0時,設該直線的方程為x+y=a,
把P(2,1)代入所設的方程得:a=3,則所求直線的方程為x+y=3即x+y-3=0;
②當所求的直線與兩坐標軸的截距為0時,設該直線的方程為y=kx,
把(2,1)代入所求的方程得:k=$\frac{1}{2}$,則所求直線的方程為y=2x即x-2y=0.
綜上,所求直線的方程為:x-2y=0或x+y-3=0;
(3):如圖所示:設∠BAO=θ,0°<θ<90°,PA=$\frac{1}{sinθ}$,PB=$\frac{2}{cosθ}$,
∴|PA|•|PB|=$\frac{2}{sinθ•cosθ}$=$\frac{4}{sin2θ}$,∴2θ=90°,即θ=45°時,
|PA|•|PB|取最小值,此時,直線的傾斜角為135°,斜率為-1,直線l的方程為y-1=-1(x-2),
化簡可得x+y-3=0.

點評 此題考查學生會根據(jù)條件設出直線的截距式方程和點斜式方程,考查了分類討論的數(shù)學思想,是一道綜合題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

2.宋元時期杰出的數(shù)學家朱世杰在其數(shù)學巨著《四元玉鑒》卷中“茭草形段”第一個問題“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’埵(同垛)之.問底子(每層三角形邊茭草束數(shù),等價于層數(shù))幾何?”中探討了“垛枳術”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上1束,下一層3束,再下一層6束,…,成三角錐的堆垛,故也稱三角垛,如圖,表示第二層開始的每層茭草束數(shù)),則本問題中三角垛底層茭草總束數(shù)為120.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

3.設等比數(shù)列{an}的公比為q,若Sn,Sn-1,Sn+1成等差數(shù)列,則$\frac{{a}_{5}+{a}_{7}}{{a}_{3}+{a}_{5}}$=4.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

20.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且a=2,2cos2$\frac{B+C}{2}$+sinA=$\frac{4}{5}$.
(Ⅰ)若滿足條件的△ABC有且只有一個,求b的取值范圍;
(Ⅱ)當△ABC的周長取最大值時,求b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.已知向量$\overrightarrow{a}$=(cos$\frac{3x}{2}$,sin$\frac{3x}{2}$),$\overrightarrow$=(cos$\frac{x}{2}$,-sin$\frac{x}{2}$),且x∈[0,$\frac{π}{2}$],
(1)求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|關于x的表達式;
(2)求f(x)=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

17.已知代數(shù)式2x-6的值與-$\frac{1}{2}$互為倒數(shù),那么x的值為2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

4.下列函數(shù)中,導函數(shù)是奇函數(shù)的是(  )
A.y=sin2xB.y=exC.y=lnxD.y=(2x)2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

1.求在[-5,0]內(nèi),函數(shù)f(x)=x2+4x+3的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

2.若函數(shù)f(x+1)的定義域為[-2,3],則函數(shù)f(2x-1)的定義域是[0,$\frac{5}{2}$],函數(shù)f($\frac{1}{x}$+2)的定義域為(-∞,-$\frac{1}{2}$]∪(0,+∞).

查看答案和解析>>

同步練習冊答案