15.已知實(shí)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,若a2a5a8=-8,則$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{9}}$+$\frac{9}{{a}_{5}{a}_{9}}$(  )
A.有最大值$\frac{1}{2}$B.有最小值$\frac{1}{2}$C.有最大值$\frac{5}{2}$D.有最小值$\frac{5}{2}$

分析 先求出a5=-2,再由$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{9}}$+$\frac{9}{{a}_{5}{a}_{9}}$=1+$\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}$+$\frac{9}{{{a}_{7}}^{2}}$,利用均值定理能求出$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{9}}$+$\frac{9}{{a}_{5}{a}_{9}}$有最小值$\frac{5}{2}$.

解答 解:∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a2a5a8=-8,∴${{a}_{5}}^{3}=-8$,
解得a5=-2,
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{9}}$+$\frac{9}{{a}_{5}{a}_{9}}$=$\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}$+$\frac{4}{{{a}_{5}}^{2}}$+$\frac{9}{{{a}_{7}}^{2}}$=1+$\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}$+$\frac{9}{{{a}_{7}}^{2}}$≥1+2$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}}•\frac{9}{{{a}_{7}}^{2}}}$=1+2$\sqrt{\frac{9}{({a}_{5})^{4}}}$=1+2×$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{2}$,
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{9}}$+$\frac{9}{{a}_{5}{a}_{9}}$有最小值$\frac{5}{2}$.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等比數(shù)列的性質(zhì)和均值定理的合理運(yùn)用.

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