Question

19．已知函數(shù)f（x）=log₃x，x∈[3，27]，g（x）=f²（x）-2m•f（x）+3的最小值為h（m）．
（1）求h（m）；
（2）是否存在實數(shù)a，b，同時滿足下列條件：
①b＜a＜1
②當(dāng)h（m）的定義域為[b，a]時，值域為[b²，a²]，若存在，求出a和b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的值域，利用換元法把函數(shù)g（x）化為二次函數(shù)，求出它在閉區(qū)間上的最小值h（m）即可；
（2）根據(jù)題意得b＜a＜1時，h（m）在[b，a]上為減函數(shù)，求出h（m）在[b，a]上的值域，判斷它是否滿足題目中的條件即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₃x，x∈[3，27]，
∴1=log₃3≤f（x）≤log₃27=3，
即f（x）∈[1，3]；
設(shè)f（x）=t，則t∈[1，3]，
∴函數(shù)g（x）=f²（x）-2m•f（x）+3可化為
g（t）=t²-2mt+3=（t-m）²-m²+3，t∈[1，3]；
當(dāng)m≤1時，g（t）在[1，3]上是增函數(shù)，最小值是h（1）=4-2m；
當(dāng)m≥3時，g（t）在[1，3]上是減函數(shù)，最小值是h（3）=12-6m；
當(dāng)1＜m＜3時，g（t）在[1，3]上先減后增，最小值是h（m）=3-m²；
∴函數(shù)g（x）的最小值是h（m）=$\left\{\begin{array}{l}{4-2m，m≤1}\\{3{-m}^{2}，1＜m＜3}\\{12-6m．m≥3}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)m≤1時，h（m）=4-2m，
∴b＜a＜1時，h（m）在[b，a]上為減函數(shù)，
∴h（m）在[b，a]上的值域為[h（a），h（b）]；
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{h（a）{=b}^{2}}\\{h（b）{=a}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4-2a{=b}^{2}}\\{4-2b{=a}^{2}}\end{array}\right.$，
兩式相減，得2b-2a=b²-a²；
又a≠b，∴a+b=2，這與b＜a＜1矛盾；
∴不存在滿足題中條件的a，b的值．

點評 本題考查了一次、二次函數(shù)的值域問題，也考查了換元法與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，對于二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域問題一般結(jié)合圖象和單調(diào)性來處理，是綜合性題目．