Question

12．設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f（x）=（a-x）|x|．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）是奇函數(shù)，且關(guān)于x的不等式mx²+m＞f[f（x）]對(duì)所有的x∈[-2，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1時(shí)，便可得出$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（1-x）x}&{x≥0}\\{（x-1）x}&{x＜0}\end{array}\right.$，從而可根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，即可分別求出x≥0和x＜0時(shí)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）可由f（x）為奇函數(shù)得到a=0，從而得到f（x）=-x|x|，進(jìn)一步求得f[f（x）]=x³|x|，從而可由mx²+m＞f[f（x）]得到$m＞\frac{{x}^{3}|x|}{{x}^{2}+1}$對(duì)于任意x∈[-2，2]恒成立，可由x∈[-2，2]得出$\frac{{x}^{3}|x|}{{x}^{2}+1}≤\frac{{x}^{4}}{{x}^{2}+1}=（{x}^{2}+1）+\frac{1}{{x}^{2}+1}-2≤\frac{16}{5}$，這樣便可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=（1-x）|x|=\left\{\begin{array}{l}（1-x）x，x≥0\\（x-1）x，x＜0\end{array}\right.$；
當(dāng)x≥0時(shí)，$f（x）=（1-x）x=-{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{4}$，∴f（x）在$[0，\frac{1}{2}]$內(nèi)是增函數(shù)，在$（\frac{1}{2}，+∞）$內(nèi)是減函數(shù)；
當(dāng)x＜0時(shí)，$f（x）=（x-1）x={（x-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$，∴f（x）在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)；
綜上可知，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[0，\frac{1}{2}]$，單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），$（\frac{1}{2}，+∞）$；
（Ⅱ）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-1）=-f（1）；
即（a+1）•1=-（a-1）•1；
解得a=0；
∴f（x）=-x|x|，f[f（x）]=x³|x|；
∴mx²+m＞f[f（x）]=x³|x|，即$m＞\frac{{{x^3}|x|}}{{{x^2}+1}}$對(duì)所有的x∈[-2，2]恒成立；
∵x∈[-2，2]，∴x²+1∈[1，5]；
∴$\frac{{{x^3}|x|}}{{{x^2}+1}}≤\frac{x^4}{{{x^2}+1}}=\frac{{{x^4}-1+1}}{{{x^2}+1}}={x^2}+1+\frac{1}{{{x^2}+1}}-2≤\frac{16}{5}$；
∴$m＞\frac{16}{5}$；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為$（\frac{16}{5}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 考查含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，二次函數(shù)和分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，奇函數(shù)的定義，可由f（x）解析式求f[f（x）]的解析式，以及分離常數(shù)法的運(yùn)用，要能夠根據(jù)基本不等式判斷函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}$的單調(diào)性．