Question

6．已知△ABC為銳角三角形，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且$\sqrt{3}$a=2csinA．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）當c=2$\sqrt{3}$時，求：△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\sqrt{3}$a=2csinA，利用正弦定理，結合△ABC為銳角三角形，a求角C；
（Ⅱ）當c=2$\sqrt{3}$時，利用余弦定理，結合基本不等式，可得ab≤12，即可求：△ABC面積的最大值．

解答 （I）解：由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，（1分）
將已知代入得sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．（2分）
因為△ABC為銳角三角形，所以0＜C＜$\frac{π}{2}$，（3分）
所以C=$\frac{π}{3}$．（4分）
（II）證明：由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，（5分）
即12=a²+b²-ab，（6分）
又a²+b²-ab≥2ab-ab=ab
所以ab≤12．（8分）
所以△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$ab≤3$\sqrt{3}$，（9分）
當且僅當a=b，即△ABC為等邊三角形時，△ABC的面積取到3$\sqrt{3}$．
所以△ABC面積的最大值為3$\sqrt{3}$．（10分）

點評 本題考查正弦定理、余弦定理的運用，考查基本不等式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．