Question

11．如圖所示，已知幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁是平行六面體．
（1）化簡$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，并在圖上標出結果；
（2）設M是底面ABCD的中心，N是側面BCC₁B₁對角線BC₁上的點，且C₁N=$\frac{1}{4}$C₁B，設$\overrightarrow{MN}$=α$\overrightarrow{AB}$+β$\overrightarrow{AD}$+γ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，求α，β，γ的值．

Answer 1

分析 （1）在幾何體中作出向量$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$即可；
（2）根據(jù)空間圖形，用向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{{AA}_{1}}$表示出$\overrightarrow{MN}$即可．

解答 解：（1）向量$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，是在AB上截取AP=$\frac{2}{3}$AB，
過點P作PQ∥BC，交CD于點Q，
再過點Q作QR∥CC₁，且QR=$\frac{1}{2}$CC₁，連接AR，
則$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{QR}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$，
$\overrightarrow{AR}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，如圖所示；

（2）M是底面ABCD的中心，N是側面BCC₁B₁對角線BC₁上的點，且C₁N=$\frac{1}{4}$C₁B，
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{BN}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{{BC}_{1}}$
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{DC}$）+$\frac{3}{4}$（$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$）
=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$，
又$\overrightarrow{MN}$=α$\overrightarrow{AB}$+β$\overrightarrow{AD}$+γ$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴α=$\frac{1}{2}$，β=$\frac{1}{4}$，γ=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了空間向量的線性表示與運算問題，是基礎題目．